世界中的基本力之一是弱力。弱力触及将原子联接在一齐或将它们分开......

作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4

你外传过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有格外的含义。这些周期对于继续粒子物理常识题十分灵验。在本月的专栏中，我将告诉你关联周期是什么、物理学的来历以及悉数这些与甜甜圈几何体式的关系的更多信息。

从甜甜圈到积分

也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法离别咖啡杯和甜甜圈。（若是你不闇练，请检察 Keenan Crane 和 Henry Segerman 绘图的关联两者变换的密致插图。）

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几何学家随机离别咖啡杯和甜甜圈。咱们以致不错离别不同类型的甜甜圈。

举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：

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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头粉饰着松软的糖

（像片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）

这是一个薄脆的甜甜圈：

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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔

（像片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）

但甜甜圈的几何体式是如斯天际有天，一朝你启动查验它，就很难再探究其他事情了！

让咱们校负责地形色一下两个甜甜圈之间的区别。理思化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的体式，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小梗概沟通。

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理思化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。

在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。

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理思的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔

在这些示例中，圆很容易测量。但有时环面以更复杂的花式出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。探究方程的解

y² = x(x-1)(x-t)

这等于着名的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。若是咱们在“无限远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它等于一个环面族。很难绘图两个复变量方程的解，但咱们不错绘图实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：

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具有两个实数重量的椭圆弧线

你不错将绘图实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。

测量这两个圆的长度很辣手。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学战略：竖立一个积分来测量弧长。在这种情况下，允洽的积分是：

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这里，积分是在环面/椭圆弧线中允洽的粗浅闭合弧线γ上进行的。

但有一个问题！我将用一张容易污染的橙色猫的漫画来解释它。

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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分确切很难！

猫莫得说谎：这个积分确切很难。微积分课上的法式时期不起作用。事实上，这个积分莫得闭塞时势的代数解。

周期和微分方程

积分 

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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在允洽的子空间上求代数抒发式的积分而取得的数字。（从时期上讲，咱们应该随机使用不等式和有理悉数的代数方程组来形色咱们正在积分的区域。）

许多意义的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有好多大而意义的问题：举例，咱们怎么形色哪些数字算作周期出现？使用积分运算，不错证明注解周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是形色周期环舒服的所关测度。

让咱们回过甚来尝试融会咱们的特定周期。咱们知说念积分的效劳是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：

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当咱们求导时，积分记号下的抒发式变得愈加复杂，但它保抓沟通的一般体式。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错笃定P(t)、P'(t)和P''(t)之间的关系：

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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）算作二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个独处的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。

求解微分方程的法式智商是使用无限级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：

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其均分子触及一个抒发式

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看起来很像高潮阶乘转移了1/2相似。若是咱们用简写 

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 替换这个抒发式，咱们的级数就会取得更紧凑的暗意法：

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这是一个着名的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中只消一个阶乘）。通盘级数有时用更紧凑的记号抒发：

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关联求解经过的更多详备信息，包括第二个独处周期的形色，请参阅 Don Zagier 的深刻论文《微分方程的算术和拓扑》  https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我思向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。

日落和费曼图

在粒子物理学中，形色电子和光子等基本粒子之间的相互作用触及计较艰巨的积分。（更恶运的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是邃密界说的！）物理学家使用复杂性继续增多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些计较。创建和操作费曼图有特定的法子，但在初步类似时，东说念主们不错思象它们表露了粒子相遇、相互作用并可能履历涟漪，然后分说念扬镳的故事。

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具有多个轮回的费曼图

世界中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力触及将原子联接在一齐或将它们分开。它是限定辐照性衰变经过并使碳14检测年齿成为可能的力量。

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一棵树的横截面

东说念主们不错运用树木年轮来校准碳-14测年的智商。比尔·卡斯曼拍摄（寰球范围）。

要进行触及弱力的计较，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，有时称为日落图（sunset diagram）。

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看起来像穿过圆心的箭头的费曼图

好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手商议日落图。为了简化问题，他们使用了一个只消两个时空维度的模子。（思象粒子跟着时辰的推移沿着一条线往还转移。）他们假定相互作用经过中产生的悉数粒子都具有沟通的质地m，有一个固定的外部动量K，况且他们输入了一个常数μ来均衡单元。效劳所以下日落积分：

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这个积分确切十分十分难！

关键问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那边分母淹没，咱们不错设

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效劳是一个取决于参数 t的弧线族：

(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0

这是 t=11 的效劳图。

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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线

该图的特征可能看起来很闇练。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又追思了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。

布洛赫和范霍夫接受了一种看似闇练的战略。他们设

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 来简化单元，然后寻找一个触及J的微分方程，

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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。法式微分方程智商分两步继续此类问题。率先，求解都次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非都次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧短长零常数。

布洛赫和范霍夫证明注解，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的都次解不错用经典超几何级数来写：

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这个级数用触及 1/12和5/12的高潮阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来指点为级数变量插入了更复杂的抒发式。

为了求解完好的非都次方程，咱们需要另一个格外常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无限级数。当|z| < 1时，

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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。

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因此，周期为咱们提供了一种精准的智商来形色日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的根由！

进一步阅读

Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015)， 328–364. MR3283183， arXiv:1309.5865 [hep-th]。

马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond， 771–808， Springer， Berlin， 2001. MR1852188， IHEP

Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 奉告， 2014年9月

Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc.， Zürich， 2018. MR3890449， MPIM

唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《不凡的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988)， no. 1， 131–145. MR940391， MPIM

致谢

我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学商议场所 K 表面、代数环和动机同伦表面技俩期间赐与的辅助和关怀理财，我在该商议所的 30周年庆祝行径期间展示了该试验的一个版块。这项责任取得了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的辅助。

参考而已

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/

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让数学

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